Belirsizlik:
Toplanan fonksiyonların ayrı ayrı limitini incelersek $$\lim\limits_{x\to 1^\pm}\frac{x}{x-1}=\pm\infty \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \lim\limits_{x\to 1^\pm}\frac1{\ln x}=\pm\infty$$ olduğundan elimizde ($1$'in iki yönü için de) $[\infty-\infty]$ belirsizliği olur.
Yol:
(1.0) Paydaları eşitleyelim.
(2.0) Bu durumda $[0/0]$ belirsizliğimiz olur.
(2.1) l'Hopital uygulayalım.
(3.0) Düzenleme yapalım.
(3.1) Bu durumda $[0/0]$ belirsizliğimiz olur.
(3.2) l'Hopital uygulayalım.
(4.0) Limiti bulalım.
Yolu uygulama:
Bu yol ile\begin{align*}\lim\limits_{x\to 1} \left(\dfrac x{x-1}-\frac1{\ln x}\right)&=\ \lim\limits_{x\to 1}\frac{x\cdot \ln x-x+1}{(x-1)\cdot\ln x} \\[17pt]&\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\left(1\cdot \ln x+x\cdot \frac1x\right)-1}{1\cdot \ln x+(x-1)\cdot \frac1x}\\[17pt]&=\ \lim\limits_{x\to 1}\frac{\ln x}{\ln x+1-\frac1x}\\[17pt]&\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 1}\frac{\frac1x}{\frac1x+\frac1{x^2}}\\[17pt]&=\ \frac{\frac11}{\frac11+\frac1{1^2}}\\[17pt] &= \ \frac12\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydalarının türevi $$\ln x+1-\frac1x\ \ \ \text{ ve } \ \ \ \frac1x+\frac1{x^2}$$ $1$'in bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(0,2\right)-\{1\}$ için, ikisi için de sağlanıyor.
* İkincisi bu aralıkta pozitif değerler aldığından sıfır değeri alamaz.
* İlkinin türevi ikincisi olduğundan ve bu türev bu aralık üzerinde pozitif değerler aldığından, ilki bu aralık üzerinde artan ve dolayısıyla birebir olur. Bu aralık üzerinde ikinci bir sıfıra sahip olamaz.