Belirsizlik:
Çarpılan fonksiyonların ayrı ayrı limitini incelersek $$\lim\limits_{x\to 0^+}\sin x=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \lim\limits_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$$ olduğundan elimizde $[0\cdot \infty]$ belirsizliği olur.
Yol:
(1) $\sin x=1/\csc x$ olarak yazalım ve
(2) $[\infty/\infty]$ belirsizliği elde edelim.
(3) l'Hôpital uygulayalım.
(4) $0$ noktasında $x^{-1}\sin x$ limitinin $1$ olduğunu kullanabilecek şekilde iç ifadeyi düzenleyelim ve
(5) limiti bulalım.
Yolu uygulama:
Bu yol ile \begin{align*}\lim\limits_{x\to 0^+} \ \left(\sin x\cdot \ln x\right)&=\ \lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{\ln x}{\csc x} \\[17pt]&\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac\infty\infty\right]} \ \lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{x^{-1}}{-\csc x\cdot \cot x}\\[17pt]&=\ \lim\limits_{x\to 0^+}\left(-\dfrac{\sin x}{x}\cdot \tan x\right)\\[17pt]&= \ -1\cdot \tan 0 \\[17pt] &= \ 0\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydanın türevinin $$-\csc x\cdot \cot x$$ sıfırın bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(0,\frac\pi2\right)$ için, sağlanıyor.