Belirsizlik:
Taban ve kuvvetin limitleri, sırasıyla, $$\lim\limits_{x\to 1^+}x = 1 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ \lim\limits_{x\to 1^+}\frac1{x-1}=\infty$$ olduğundan elimizde $\left[1^\infty\right]$ tarzı bir belirsizlik olur.
Logaritma alma:
$[1^\infty]$ belirsizliği var. Bu belirsizliği $[0/0]$ belirsizliğine çevirmek için fonksiyonun logaritması ile ilgilenelim.
Logaritma aldığımızda, $1$'in pozitif yöndeki bir civarında, \begin{align*}\ln \left(x^{\frac1{x-1}}\right)\ &= \ \dfrac{1}{x-1}\cdot\ln x\\[15pt] &= \ \dfrac{\ln x}{x-1}\end{align*}eşitliğini sağlanır.
Logaritmasının limiti:
$[0/0]$ belirsizliği var. Bu belirsizliği gidermek için l’Hôpital uygularsak \begin{align*}\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{\ln x}{x-1}\ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{1/x}{1} \\[15pt] &= \ \dfrac{1/1}{1} \\[15pt] &= \ 1\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Fonksiyonun limiti:
$\exp \circ \ln$ birim fonksiyon olduğundan $\ln$'i geri almak için $\exp$ kullanalım.
$\exp$ fonksiyonu sürekli olduğundan, özel olarak $1$ noktasında sürekli olduğundan, \begin{align*}\lim\limits_{x\to 1^+}\left(x^{\frac1{x-1}}\right)\ &= \ \lim\limits_{x\to 1^+}\exp \left(\ln \left(x^{\frac1{x-1}}\right)\right)\\[15pt] &= \ \exp\left( \lim\limits_{x\to 1^+}\ln \left(x^{\frac1{x-1}}\right)\right)\\[15pt] &= \ \exp(1) \\[15pt] &= \ e \end{align*} eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen l'Hôpital sorularında bu ön koşul sağlansa da paydanın türevi $$(x-1)^\prime =1,$$ $1$'in pozitif yöndeki bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(1,2\right)$ için, sağlanıyor.