Yöntem:
Türevi ve kendisi makul değerler alan bir $f$ fonksiyonu ve bir $a$ noktası seçerek
$f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki teğet doğrusunu bulacağız.
Bu doğrunun oluşturduğu fonksiyon ile istenen değere bir yaklaşımda bulunacağız.
İfadeyi düzenleme:
$$\ln(1001)-\ln(1000)=\ln \left(\frac{1001}{1000}\right)=\ln \left(1.001\right)$$
Makul fonksiyon seçimi:
$f$ fonksiyonunu kuralı $$f(x)=\ln x$$ fonksiyon olarak seçelim.
Fonksiyonun türevi:
$f(x)=\ln x$ fonksiyonunun türevi $$f^\prime(x)=\frac1{x}$$ olur.
Makul nokta seçimi:
$1.001$ değerine yakın $1$ değeri için $$f(1)=\ln 1=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ f^\prime(1)=\dfrac{1}{1}=1$$ eşitlikleri sağlanır.
Teğet denklemi:
$\ln x$ fonksiyonunun $1$ noktasındaki bir teğet denklemi $$y=f(1)+f^\prime(1)(x-1) \ \ \ \text{ yani }\ \ \ y=1+1\cdot (x-1)=x$$ olur.
Doğrusal yaklaşım fonksiyonu:
Bu teğet doğrusu ile elde edeceğimiz $$L(x)=x$$ doğrusal yaklaşım fonksiyonunu tanımlayalım.
Yaklaşık değer:
$f$ fonksiyonuna $1.001$ noktasındaki değeri olan $\ln(1.001)$ yaklaşık olarak $$L(1.001)=1.001$$ değerine eşit olur.
Hata payı için ikinci türev:
$f$ fonksiyonunun ikinci türevi, birinci türevinin $x^{-1}$ olduğunu kullanırsak, $$f^{\prime\prime}(x)=-x^{-1-1}=-\frac1{x^2}$$ olur.
Hata payı:
İkinci türev $1$ ile $1.001$ arasındaki her değer için var olduğundan, bir $s\in(1,1.001)$ değeri için $$f(1.001)-L(1.001)=\frac{f^{\prime\prime}(s)}{2}(1.001-1)^2=\dfrac1{2\cdot 10^6}f^{\prime\prime}(s)$$ eşitliği sağlanır.
Hata payı için üst sınır:
$s \in (1,1.001)$ olduğundan \begin{align*}|f(1.001)-L(1.001)|&=\dfrac1{2\cdot 10^6}\left|f^{\prime\prime}(s)\right|\\[15pt] &=\dfrac1{2\cdot 10^6}\frac1{s^{2}} \\[15pt] &< \dfrac1{2\cdot 10^6}\dfrac1{1^2}\\[15pt] &=\dfrac5{10^7}\\[15pt] &=0.0000005 \end{align*} eşitsizliği sağlanır.
Ek bilgi:
$\ln(1.001)$ sayısı, birkaç basamak yazılmış hali ile, $$0.00099950033308...\ldots$$ olarak verilebilir.