Zincir kuralına uygun yazma:
Zincir kuralını uygulayabilmek için fonksiyonumuzu halihazırda türevlerini bildiğimiz fonksiyonların bileşkesi olarak yazmamız gerekir. Bu amaç doğrultusunda
$f$ fonksiyonunun kuralını $$f(x)=\arctan\left(\dfrac{2x}{1-x^2}\right)=\underbrace{\left(\arctan x\right)}_{f_2(x)}\circ\underbrace{\left(\dfrac{2x}{1-x^2}\right)}_{f_1(x)}$$ olarak yazabiliriz.
Bilgimizin olduğu türevler ve istenen türevin varlığı:
$(-1,1)$ üzerinde kuralı, $2x/(1-x^2)$ ve gerçel sayılar üzerinde kuralı $\arctan x$ olan fonksiyonlar türevlenebilir fonksiyonlardır ve türevleri sırası ile
$\dfrac{2\cdot(1-x^2)-2x\cdot(-2x)}{(1-x^2)^2}=\dfrac{2(1+x^2)}{(1-x^2)^2}$ ve $\dfrac1{1+x^2}$
fonksiyonlarıdır.
Bu türevler var olduğundan, zincir kuralı gereği, bu fonksiyonların bileşkesi olan $f$ fonksiyonu da gerçel sayılar üzerinde türevlenebilir.
Zincir kuralı ile türevi bulma:
Zincir kuralı gereği bu fonksiyonların bileşkesi olan $f$ fonksiyonu da $(-1,1)$ üzerinde türevlenebilir ve \begin{align*}f^\prime(x)\ &= \ \underbrace{\dfrac{2(1+x^2)}{(1-x^2)^2}}_{f_1^\prime(x)}\cdot \underbrace{\frac1{1+\left(\dfrac{2x}{1-x^2}\right)^2}}_{f_2^\prime(f_1(x))}\\[15pt] &= \ \dfrac{2(1+x^2)}{(1-x^2)^2}\cdot \dfrac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}\\[15pt] &= \ \dfrac{2}{1+x^2}\end{align*} eşitliği sağlanır.
Kulllanılacak sav:
$(a,b)$ aralığı üzerinde $f^\prime(x)=g^\prime(x)$ ise bir $c\in \mathbb R$ için $$f(x)=g(x)+c$$ sağlanır.
Billindik bir fonksiyonla ilişkillendirme:
$(-1,1)$ üzerinde bu türev aynı zamanda $2\arctan x$ fonksiyonunun türevi olduğundan bir $c\in \mathbb R$ için $$\arctan\left(\dfrac{2x}{1-x^2}\right)=2\arctan x+c$$ olarak yazılabilir.
c değerini bulma:
Aralıktaki bir değer olarak $x=0$ için hesaplama yaparsak $$\arctan\left(\dfrac{2\cdot 0}{1-0^2}\right) =2\arctan 0+c \implies 0=0+c \implies c=0$$ eşitliğini elde ederiz.
Sonuç:
$(-1,1)$ üzerinde $$\arctan\left(\dfrac{2x}{1-x^2}\right)=2\arctan x$$ eşitliği sağlanır.