Rolle Savı:
$b>a$ gerçel sayılar olmak üzere $f:[a,b]\to \mathbb R$ fonksiyonu sürekli ve $(a,b)$ aralığı üzerinde türevlenebilir olsun. $f(a)=f(b)$ ise $(a,b)$ aralığındaki bir $c$ değeri için $$f^\prime(c)=0$$ eşitliği sağlanır.
Yol:
(1) Fonksiyonun $[1,3]$ üzerinde sürekli olduğunu söyleyeceğiz.
(2) Fonksiyonun türevini bulup $(1,3)$ üzerinde türevlenebildiğini göstereceğiz.
(3) $f(1)=f(3)$ olduğunu göstereceğiz.
(4) Rolle savı gereği bir $c\in(1,3)$ için $f^\prime(c)=0$ olası gerektiğini söyleyeceğiz.
(5) Türevin sıfır olduğu noktaları inceleyeceğiz.
(6) Bu noktalardan $(1,3)$ aralığına düşen bir $c$ değeri bulacağız.
(7) Sonuç olarak Rolle savının bu örnek için doğru olduğunu belirteceğiz.
Fonksiyonun sürekli olması:
$f$ bir polinom fonksiyon olduğundan $\mathbb R$ üzerinde sürekli bir fonksiyondur.
Özel olarak $[1,3]$ aralığı üzerinde süreklidir.
Fonksiyonun türevi:
$f$ fonksiyonunun türevi $$f(x)=3x^2-6x-1$$ olur.
Özel olarak $f$, $(1,3)$ aralığı üzerinde türevlenebilir bir fonksiyondur.
Fonksiyonun uç noktalardaki değeri:
$[1,3]$ aralığının uç değerleri için $$f(1)=f(3)=0$$ eşitliği sağlanır.
Rolle savı sonucu:
$f$ fonksiyonu $[1,3]$ aralığı üzerinde sürekli, $(1,3)$ aralığı üzerinde türevlenebilir ve $f(1)=f(3)$ eşitliği sağlandığından bir $c\in (1,3)$ için $$f^\prime(c)=0$$ eşitliği sağlanır.
Amaç:
Rolle savının doğruluğunu bu örnek için göstermek istersek $$f^\prime(c)=0$$ eşitliğini sağlayan bir $c\in (1,3)$ değeri bulmamız gerekir.
Türevi sıfır olan bir nokta(ları) bulma:
Polinomsal olarak \begin{align*} 3x^2-6x-1 \ &= \ 3\cdot \left(x^2-2x-\frac13\right)\\[17pt] &=\ 3\cdot \left(x^2-2x+1-1-\frac13\right) \\[17pt] &=\ 3\cdot \left((x-1)^2-\frac43\right) \end{align*} eşitliği sağlandığından \begin{align*} 3c^2-6c-1 =0 &\iff (c-1)^2-\frac43=0\\[17pt] &\iff\ (c-1)^2=\frac43\\[17pt] &\iff\ c-1=\pm\frac2{\sqrt3}\\[17pt] &\iff\ c=1\pm\frac2{\sqrt3}\end{align*} sağlanır.
Aralığa düşen bir c değeri seçme:
$$1 < 1+\frac2{\sqrt3}< 1+\frac21=3$$ eşitsizliği sağlandığından $$1+\frac2{\sqrt3}\in(1,3)$$ olur.
Sonuç:
$[1,3]$ aralığı üzerinde sürekli, $(1,3)$ aralığı üzerinde türevlenebilir ve $f(1)=f(3)$ eşitliği sağlayan $f$ fonksiyonu $1+\frac2{\sqrt3}\in (1,3)$ değeri için $$f^\prime\left(1+\frac2{\sqrt3}\right)=0$$ eşitliğini sağlar.