Rolle Savı:
$b>a$ gerçel sayılar olmak üzere $f:[a,b]\to \mathbb R$ fonksiyonu sürekli ve $(a,b)$ aralığı üzerinde türevlenebilir olsun. $f(a)=f(b)$ ise $(a,b)$ aralığındaki bir $c$ değeri için $$f^\prime(c)=0$$ eşitliği sağlanır.
Yol:
(1) Fonksiyonun $[0,6]$ üzerinde sürekli olduğunu söyleyeceğiz.
(2) Fonksiyonun türevini bulup $(0,6)$ üzerinde türevlenebildiğini göstereceğiz.
(3) $f(0)=f(6)$ olduğunu göstereceğiz.
(4) Rolle savı gereği bir $c\in(0,6)$ için $f^\prime(c)=0$ olası gerektiğini söyleyeceğiz.
(5) Türevin sıfır olduğu noktaları inceleyeceğiz.
(6) Bu noktalardan $(0,6)$ aralığına düşen bir $c$ değeri bulacağız.
(7) Sonuç olarak Rolle savının bu örnek için doğru olduğunu belirteceğiz.
Fonksiyonun sürekli olması:
$f$ bir polinom fonksiyon olduğundan $\mathbb R$ üzerinde sürekli bir fonksiyondur.
Özel olarak $f$, $[0,6]$ aralığı üzerinde süreklidir.
Fonksiyonun türevi:
$f$ fonksiyonunun türevi $$f(x)=2x\cdot(6-x)+x^2\cdot (-1)=12x-3x^2$$ olur.
Özel olarak $f$, $(0,6)$ aralığı üzerinde türevlenebilir bir fonksiyondur.
Fonksiyonun uç noktalardaki değeri:
$[0,6]$ aralığının uç değerleri için $$f(0)=f(6)=0$$ eşitliği sağlanır.
Rolle savı sonucu:
$f$ fonksiyonu $[0,6]$ aralığı üzerinde sürekli, $(0,6)$ aralığı üzerinde türevlenebilir ve $f(0)=f(6)$ eşitliği sağlandığından bir $c\in (0,6)$ için $$f^\prime(c)=0$$ eşitliği sağlanır.
Amaç:
Rolle savının doğruluğunu bu örnek için göstermek istersek $$f^\prime(c)=0$$ eşitliğini sağlayan bir $c\in (0,6)$ değeri bulmamız gerekir.
Türevi sıfır olan bir nokta(ları) bulma:
Polinomsal olarak \begin{align*} 12-3x^2\ &= \ 3\cdot (4-x^2)\\[17pt] &=\ 3\cdot (2-x)\cdot (2+x)\end{align*} eşitliği sağlandığından \begin{align*} 12-3c^2=0 &\iff 3\cdot(2-c)\cdot (2+c)=0\\[17pt] &\iff\ \left\{\begin{matrix}c & = & -2& \text{ veya}\\ c & = & 2 & {}\end{matrix}\right.\end{align*} sağlanır.
Aralığa düşen bir c değeri seçme:
Burada $2\in (0,6)$ istediğimiz değer olur.
Sonuç:
$[0,6]$ aralığı üzerinde sürekli, $(0,6)$ aralığı üzerinde türevlenebilir ve $f(0)=f(6)$ eşitliği sağlayan $f$ fonksiyonu $2\in (0,6)$ değeri için $$f^\prime\left(2\right)=0$$ eşitliğini sağlar.