Rolle Savı:
$b>a$ gerçel sayılar olmak üzere $f:[a,b]\to \mathbb R$ fonksiyonu sürekli ve $(a,b)$ aralığı üzerinde türevlenebilir olsun. $f(a)=f(b)$ ise $(a,b)$ aralığındaki bir $c$ değeri için $$f^\prime(c)=0$$ eşitliği sağlanır.
Yol:
(1) Fonksiyonun $[0,\pi]$ üzerinde sürekli olduğunu söyleyeceğiz.
(2) Fonksiyonun türevini bulup $(0,\pi)$ üzerinde türevlenebildiğini göstereceğiz.
(3) $f(0)=f(\pi)$ olduğunu göstereceğiz.
(4) Rolle savı gereği bir $c\in(0,\pi)$ için $f^\prime(c)=0$ olası gerektiğini söyleyeceğiz.
(5) Türevin sıfır olduğu noktaları inceleyeceğiz.
(6) Bu noktalardan $(0,\pi)$ aralığına düşen bir $c$ değeri bulacağız.
(7) Sonuç olarak Rolle savının bu örnek için doğru olduğunu belirteceğiz.
Fonksiyonun sürekli olması:
$f$, $\mathbb R$ üzerinde sürekli olan $e^x$ ve $\sin x$ fonksiyonlarının çarpımı olduğundan $\mathbb R$ üzerinde sürekli bir fonksiyondur.
Özel olarak $[0,\pi]$ aralığı üzerinde süreklidir.
Fonksiyonun türevi:
$f$ fonksiyonunun türevi $$f(x)=e^x\cdot \sin x+e^x\cdot \cos x=e^x(\sin x+\cos x)$$ olur.
Özel olarak $f$, $(0,\pi)$ aralığı üzerinde türevlenebilir bir fonksiyondur.
Fonksiyonun uç noktalardaki değeri:
$[0,\pi]$ aralığının uç değerleri için, $\sin 0=\sin\pi=0$ olduğundan, $$f(0)=f(\pi)=0$$ eşitliği sağlanır.
Rolle savı sonucu:
$f$ fonksiyonu $[0,\pi]$ aralığı üzerinde sürekli, $(0,\pi)$ aralığı üzerinde türevlenebilir ve $f(0)=f(\pi)$ eşitliği sağlandığından bir $c\in (0,\pi)$ için $$f^\prime(c)=0$$ eşitliği sağlanır.
Amaç:
Rolle savının doğruluğunu bu örnek için göstermek istersek $$f^\prime(c)=0$$ eşitliğini sağlayan bir $c\in (0,\pi)$ değeri bulmamız gerekir.
Türevi sıfır olan bir nokta(ları) saptama:
$e^c$ pozitif olduğundan $$e^c\cdot (\sin c+\cos c)=0 \iff \sin c+\cos c=0 $$ sağlanır.
$\cos c=0$ olduğunda $\sin x=\pm1$ olduğundan bu eşitlik sağlanmaz. İfadeyi $\cos c$ ile bölersek $$\sin c+\cos c=0\iff \tan c+1=0 \iff \tan c=-1$$ sağlanır.
Aralığa düşen bir c değeri seçme:
$\frac{3\pi}4\in(0,\pi)$ için $$f^\prime\left(\frac{3\pi}4\right)=0$$ sağlanır.
Sonuç:
$[0,\pi]$ aralığı üzerinde sürekli, $(0,\pi)$ aralığı üzerinde türevlenebilir ve $f(0)=f(\pi)$ eşitliği sağlayan $f$ fonksiyonu $\frac{3\pi}4\in (0,\pi)$ değeri için $$f^\prime\left(\frac{3\pi}4\right)=0$$ eşitliğini sağlar.