Uygun bir fonksiyon tanımlama:
$f:\mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonunu kuralı $$f(x)=2e^x+5x^5$$ olacak şekilde tanımlayalım.
Çözüm yolu:
İlk olarak Ara Değer Savı ile en az bir çözümün var olduğunu göstereceğiz.
Bunun için fonsiyonun sürekli olduğunu söylememiz,
bir negatif görüntü ve
bir de pozitif görüntü
elde etmemiz gerekli.
Daha sonra türevinin pozitif değerler almasını kullanarak,
fonksiyonun artan
ve işe yara şekilde birebir olduğunu söyleyip
tam olarak bir çözümden fazla olmayacağını
söyleyeceğiz.
Bir çözümün varlığı:
$f$ bir polinom fonksiyon olduğundan süreklidir. Ayrıca $$f(-1)=2e^{-1}+5\cdot(-1)^5=2e^{-1}-5<2\cdot 1-5<0$$$$\text{ ve } \ \ \ f(0)=2e^0+5\cdot 0=2>0$$ olduğundan, Ara Değer Savı gereği, bir $c\in (-1,0)$ değeri için $$f(c)=0 \ \ \ \text{ yani } \ \ \ 2e^c+5c^5=0$$ eşitliği sağlanır.
Başka çözüm olamayacağı:
Gerçel sayılar üzerinde $f$ fonksiyonunun türev kuralı $$f^\prime (x)= e^x+5$$ olur ve pozitif değerler alır. Dolayısıyla $f$ artan bir fonksiyondur ve birebir olur. Birebir fonksiyonlar, tanımları gereği, bir görüntü değerine birden fazla sahip olamazlar.