Fonkisyonun çift olması:
$(-x)^2=x^2$, $\sin(-x)=-\sin x$ ve $\cos (-x)=\cos x$ olduğundan \begin{align*}f(-x)\ &= \ 1-\pi^2+(-x)^2+(-x)\cdot \sin(-x)+\cos(-x)\\[15pt] &= \ 1-\pi^2+x^2+x\sin x+\cos x\\[15pt] &= \ f(x)\end{align*} eşitliği sağlanır ve $f$ bir çift fonksiyon olur.
Bu nedenle $f$ fonksiyonunun negatif olmayan gerçel sayılar üzerindeki sıfırlarını bulmamız yeteri olur.
Fonksiyonun türevi:
$f$ fonksiyonunun türevi $$f^\prime(x)=2x+(1\cdot \sin x +x\cdot \cos x)-\sin x=2x+x\cos x=x\cdot (2+\cos x)$$ olur.
Fonksiyonun negatif olmayan kısımda en fazla bir köke olması:
$2+\cos x$ her zaman pozitif olduğundan, $x>0$ ise, $$f^\prime(x)=x\cdot(2+\cos x)>0$$ eşitsizliğini sağladığından $f$ fonksiyonu $[0,\infty)$ üzerinde artan olur.
Artan fonksiyonlar birebirdir ve görüntü değeri en fazla bir kere sıfıra eşit olabilir.
Tahmin etmesi kolay kök:
Ayrıca $$f(\pi)=1-\pi^2+\pi^2+\pi\sin\pi+\cos \pi=1-\pi^2+\pi^2+\pi\cdot 0+(-1)=0$$ eşitliği sağlandığından, $x\ge 0$ için, $f(x)=0$ eşitliğini sağlayan biricik değer $\pi$ olur.
Sonuç:
Dolayısıyla $f$ fonksiyonunun $x$ eksenini kestiğini noktalar $$(-\pi,0) \ \ \ \text{ ve } \ \ \ (\pi,0)$$ olur.