Zincir kuralına uygun yazma:
Zincir kuralını uygulayabilmek için fonksiyonumuzu halihazırda türevlerini bildiğimiz fonksiyonların bileşkesi olarak yazmamız gerekir. Bu amaç doğrultusunda
$f$ fonksiyonunun kuralını \begin{align*}f(x)\ = \ \sqrt{23x^2-x+11}\ &=\ (23x^2-x+11)^{\frac12}\\[17pt] &=\ \underbrace{\left(x^{1/2}\right)}_{f_2(x)}\circ\underbrace{\left(23x^2-x+11\right)}_{f_1(x)}\end{align*} olarak yazabiliriz.
Bilgimizin olduğu türevler ve istenen türevin varlığı:
Gerçel sayılar üzerinde kuralı $23x^2-x+11$ ve pozitif gerçel sayılar üzerinde kuralı $x^{1/2}$ olan fonksiyonlar türevlenebilir fonksiyonlardır ve türevleri sırası ile
$46x-1$ ve $(1/2)\cdot x^{-1/2}$
fonksiyonlarıdır.
Bu türevler var olduğundan, zincir kuralı gereği, bu fonksiyonların bileşkesi olan $f$ fonksiyonu da gerçel sayılar üzerinde türevlenebilir.
Zincir kuralı ile türevi bulma:
Zincir kuralı gereği, bu türev \begin{align*}f^\prime(x)\ &= \ \underbrace{(46x-1)}_{f_1^\prime(x)}\cdot \underbrace{\frac12(23x^2-x+11)^{\frac12-1}}_{f_2^\prime(f_1(x))}\\[15pt] &=\ \frac12\cdot (46x-1)\cdot (23x^2-x+11)^{-\frac12}\\[15pt] &=\ \dfrac{46x-1}{2\sqrt{23x^2-x+11}} \end{align*} olur.