Bu başlık altında logaritmik türevleme ile bir cevap vereceğiz.
Foksiyonun logaritması:
$f$ fonksiyonunun görüntüsü pozitif değerler aldığından $\ln f$ fonksiyonu ile ilgilenebiliriz. Bu fonksiyonun kuralı \begin{align*}\ln f(x) \ & = \ \ln \left(\sqrt{\frac{x^3+1}{x^4+1}}\right)\\[17pt] & = \ \ln \left[\left(\frac{x^3+1}{x^4+1}\right)^\frac12\right]\\[17pt] & = \ \frac12\cdot \ln \left(\frac{x^3+1}{x^4+1}\right)\\[17pt] &= \ \frac12\cdot \left(\ln(x^3+1) -\ln(x^4+1)\right)\end{align*} olur.
Logaritmalı eşitlikte türev:
Eşitliğin iki tarafında türev alırsak $$\frac{f^\prime(x)}{f(x)}= \frac12\cdot \left(\frac{3x^2}{x^3+1} -\frac{4x^3}{x^4+1}\right)$$ eşitliğini elde ederiz.
f fonksiyonunun türevi:
Elde ettiğimiz eşitliği $f(x)$ ile çarparsak \begin{align*}f^\prime(x)\ &= \ \sqrt{\frac{x^3+1}{x^4+1}}\cdot\frac12\cdot \left(\frac{3x^2}{x^3+1} -\frac{4x^3}{x^4+1}\right)\end{align*} eşitliği sağlanır.
Logaritmik türev varsa türev de vardır:
Gerçel sayılar üzerinde $\exp$ ve $(-1,\infty)$ üzerinde $\ln f$ fonksiyonu türevlenebildiğinden $(-1,\infty)$ üzerinde, bileşkeleri olan, $$f=\exp(\ln f)$$ fonksiyonu, zincir kuralı ile, türevlenebilir.