Belirsizlik:
Sürekli fonksiyon olan pay ve paydanın limitleri, sırasıyla, $$2\cos0-\cos(2\cdot 0)-1=2\cdot 1-1-1=0 \ \ \ \text{ ve } \ \ \ 0^2=0$$ olduğundan elimizde $\left[\frac00\right]$ tarzı bir belirsizlik olur.
l'Hôpital uygulama:
İki kere l'Hôpital kuralını kullanırsak\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2\cos x -\cos 2x-1 }{x^2} \ &\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{-2\sin x +2\sin 2x }{2x}\\[17pt]&\mathop{=}_{\text{l'H}}^{\left[\frac00\right]} \ \lim\limits_{x\to 0}\frac{-2\cos x+4\cos 2x}{2}\\[17pt]&= \ \frac{-2\cdot \cos 0+4\cdot \cos(2\cdot 0)}{2}\\[17pt]&= \ 1\end{align*}eşitliğini elde ederiz.
Kalan koşulu kontrol etme:
Her ne kadar verilen örneklerde bu ön koşul sağlansa da paydalarının türevi $$(x^2)^\prime=2x \ \ \ \text{ ve } \ \ \ (2x)^\prime=2$$ sıfırın bir civarında hiç sıfır değeri vermediğinden emin olmamız gerekli.
Bu da, bir civar örneği olarak $\left(-1,1\right)-\{0\}$ için, ikisi için de sağlanıyor.