Zincir kuralına uygun yazma:
Zincir kuralını uygulayabilmek için fonksiyonumuzu halihazırda türevlerini bildiğimiz fonksiyonların bileşkesi olarak yazmamız gerekir. Bu amaç doğrultusunda
$f$ fonksiyonunun kuralını \begin{align*}f(x) \ &= \ \sqrt[5]{\sin\sqrt[3]{x}}\\[17pt] &= \ \left(\sin\left(x^\frac13\right)\right)^\frac15\\[17pt] &= \ \underbrace{\left(x^{1/5}\right)}_{f_3(x)}\circ\underbrace{\left(\sin x\right)}_{f_2(x)}\circ\underbrace{\left(x^{1/3}\right)}_{f_1(x)}\end{align*} olarak yazabiliriz.
Bilgimizin olduğu türevler ve istenen türevin varlığı:
Kuralı $x^{1/5}$ ve $x^{1/3}$ olan fonksiyonlar sıfır hariç her noktada türevlenebilir ve kuralı $\sin x$ olan fonksiyon gerçel sayılar üzerinde türevlenebilir ve türevleri yukarıdaki indislerin sırası ile
$\dfrac13\cdot x^{-2/3}$, $\cos x$ ve $\dfrac15\cdot x^{-4/5}$
fonksiyonlarıdır.
Bu türevler var olduğunda, zincir kuralı gereği, bu fonksiyonların bileşkesi olan $f$ fonksiyonu türevlenebilir.
Zincir kuralı ile türevi bulma:
Zincir kuralı gereği, $f$ fonksiyonunun türev kuralı, tanımlı olduğu yerlerde, \begin{align*}f^\prime(x)\ &= \ \underbrace{\frac13x^{\frac13-1}}_{f_1^\prime(x)}\cdot \underbrace{\cos\left(x^{\frac13}\right)}_{f_2^\prime(f_1(x))}\cdot \underbrace{\frac{1}5\left(\sin\left(x^{\frac13}\right)\right)^{\frac{1}5-1}}_{f_3^\prime(f_2(f_1(x)))}\\[15pt] &=\ \frac1{15}\cdot x^{-\frac23}\cdot \cos \sqrt[3]{x}\cdot\left(\sin\sqrt[3]{x}\right)^{-\frac45} \end{align*} eşitliğini sağlar.
Verilen türevin tanımlı olmadığı yerler:
Negatif kuvvetler gereği, $$x=0\ \ \ \text{ ve } \ \ \ \sin(\sqrt[3]x)=0$$ olduğunda verilen türev tanımlı olmaz.
İlki ikincisini de sıfırladığından, bir $k$ tam sayısı için $$\sqrt[3]x= k\pi \implies x= (k\pi)^3$$ olduğunda türev tanımlı olmaz.