$1$ noktasında $ax^2+bx$ teğeti $y=x+3$ ise $a$ ve $b$ değerleri

Question

$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere $$f(x)=ax^2+bx$$ fonksiyonunun $1$ noktasındaki teğeti $y=x+3$ doğrusu olduğuna göre $a$ ve $b$ gerçel sayılarını bulunuz.

Answer 1

Nokta bilgisi ile eşitlik elde etme:
$f$ fonksiyonunun $(1,4)$ noktasındaki teğetini inceleyebilmemiz için bu nokta fonksiyon ile elde ettiğimiz eğri üzerinde olmalıdır.

Dolayısıyla $$4=a\cdot 1^2+b\cdot 1  \ \ \ \text{ yani }\ \ \ a+b=4$$ eşitliği sağlanır.

---

Eğim bilgisi ile eşitlik elde etme:
$f$ fonksiyonunun türev kuralı $f^\prime(x)=2ax+b$ eşitliğini sağlar.

Ayrıca $f$ fonksiyonunun $(1,4)$ noktasındaki teğeti olan $y=x+3$ doğrusunun eğimi $1$ olduğundan $$1=f^\prime(1)=2a\cdot 1+b \ \ \ \text{ yani }\ \ \ 2a+b=1$$ eşitliği sağlanır.

---

Sonuca varma:
Elde ettiğimiz eşitlikleri taraf tarafa çıkartırsak $a=-3$ olduğunu ve sonrasında $b=7$ olduğunu görürüz.