Rolle Savı:
$b>a$ gerçel sayılar olmak üzere $f:[a,b]\to \mathbb R$ fonksiyonu sürekli ve $(a,b)$ aralığı üzerinde türevlenebilir olsun. $f(a)=f(b)$ ise $(a,b)$ aralığındaki bir $c$ değeri için $$f^\prime(c)=0$$ eşitliği sağlanır.
Rolle savını neden uygulayamayız:
$\tan$ fonksiyonunun $[0,\pi]$ aralığında sürekli olduğunu söylememiz gerekli fakat $\tan$ fonksiyonu $\pi/2$ noktası için tanımsızdır.
Bu nedenle Rolle savını $\tan$ fonksiyonuna uç noktalar $0$ ve $\pi$ olduğunda uygulayamayız.
Sorunun içeriğini anlama:
Ön koşullar atlandığında çeşitli sorunlar yaşayabiliyoruz. Soruda da buna değiniliyor.
(1) $\tan$ fonksiyonunun tanımlı olduğu $x$ değerleri için $$\tan^\prime x=\sec^2 x\ge 1$$ eşitsizliği sağlanır. Bu nedenle $\tan$ fonksiyonunun türev değeri hiçbir zaman sıfır olmaz.
(2) Ön koşulları atlayıp ortalama değer savını $\tan$ fonksiyonuna $[0,\pi]$ aralığı üzeride (!) uygulamaya kalkarsak (bir $c\in (0,\pi)$ için) $$0=\tan^\prime(c)=\sec^2 c\ge 1$$ eşitliği sağlanmalı. Bu da mümkün değil.